[Abstract Algebra] Field คืออะไร?

Level: ปีสามปีสี่ภาคเลข วิชา abstract math

Field ที่ไม่ใช่ทุ่งนา ให้ควายไถ หรือใช้ความถึกทำโจทย์

Field เป็นเซ็ต ในสาย abstract algebra หรือพีชคณิตเชิงนามธรรม สมมติเซ็ตมีสมาชิก element เป็น 0 กับ 1 เป็นอย่างน้อย และมีนิยามของการบวกและการคูณ ผลที่ได้จะอยู่ในเซ็ต มักใช้การ modulo ทำให้เซตนี้เป็น ring และทั้งหมดทั้งมวลเป็นไปตาม field axioms

ถ้า field เป็นเซตที่ไม่เป็นอนันต์ เรียกว่า Galois field นิยามเป็น GF(p^k) เมื่อ p คือจำนวนสมาชิกในเซ็ตที่จะมีตั้งแต่ 0 ถึง p-1 ส่วน k คือ ถ้ามันมากกว่า 1 คือ polynomial degree k ที่มีสัมประสิทธิ์ coefficients อยู่ใน GF(p) และแยกตัวประกอบไม่ได้ใน GF(p)

Field เป็นโครงสร้างทางพีชคณิตพื้นๆ ที่จะใช้ต่อในวิชาอื่นๆต่อไป

ตัวอย่าง field เซต GF(4) {O,I,A,B} มีสับเซตเป็น GF(2) {O,I} คือ 0,1 และนิยามการบวกการคูณ คล้ายตารางฤกษ์งามยามดีตำราไทยโบราณจากวิกิ https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)

นอกจากนี้ยังมีคำว่า group เช่น abelian group ที่ควรรู้ ในการพิสูจน์ตาม field axioms ต่างๆ ก็คือ group ที่มีคุณสมบัติ commutative คือคุณสมบัติสลับที่ เพิ่มขึ้นมา

สมัยอยู่วิดวะจุฬา ไม่มีสอนตัวนี้ในคณะ อยากเรียนต้องไปภาคเลขเอาเอง เดี๋ยวนี้คลิปเต็มยูทิวบ์ ถ้าเรียนสายคอมสายฟิสิกส์ วิชาพวกคริปโต ควอนตั้ม differential geometry กราฟฟิค หรือ อะไรที่มาจากภาคเลขระดับมากกว่าปอตรี เช่น submodular หรือ matroid ต้องรู้

บ่นๆ

References

เล่มไหนก็ได้ เพลลิสท์ไหนก็ได้เหมือนกัน ไม่ต่างมาก

อันนี้ของฮาร์วาร์ด ของเอ็มไอทีหาไม่เจอ สแตนฟอร์ดเบิร์กเลย์ยังไม่ได้หา

หนังสือฟรี คนเขียนใจดี อัดเป็น pdf: https://math.mit.edu/~hrm/palestine/artin-algebra.pdf

เพลลิสท์ภาคเลขฮาวาร์ด: https://youtube.com/playlist?list=PLzUeAPxtWcqzr80lS25FrzMn7a36BuXhj

มีอาจารย์จุฬาแจกหนังสือฟรีด้วย ประกอบเรียนปอโท ภาคเลขสองเทอม: http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~myotsana/ABSTALG.pdf